[2015 개정 교육과정]고3 확률과 통계 - Ⅲ. 통계

 

 

5. 이산확률변수의 확률분포

$(1)$이산확률변수

-확률변수: 어떤 시행에서 표본공간 $S$의 각 원소를 실수의 집합 $R$의 한 원소에 대응시키는 함수

              : 확률변수 $X$가 어떤 값 $x$를 가질 확률을 기호로 $P(X=x)$와 같이 나타냄

-이산확률변수: 확률변수 $X$가 가지는 값이 유한개이거나 자연수와 같이 셀 수 있을 때, $X$를 이산확률변수라 함

-이산확률변수의 확률분포: 이산확률변수 $X$가 가질 수 있는 값과 $X$가 이들 값을 가질 확률 사이의 대응 관계

-이산확률변수의 확률질량함수: 이산확률변수의 확률분포를 나타내는 함수 $P(X=x_i)=p_i(i=1,2,3,···,n)$

 

$(2)$이산확률변수의 평균, 분산, 표준편차

    $(ⅰ)$ 이산확률변수 $X$의 확률질량함수가 $P(X=x_i)=p_i(i=1, 2, 3, ···, n)$일 때,

-평균$($기댓값$)$: $E(X)=x_1\,p_1+x_2\,p_2+x_3\,p_3+···+x_n\,p_n=m$

-분산: $V(X)=E((X-m)^2)$
                   $=(x_1-m)^2p_1+(x_2-m)^2p_2+···+(x_n-m)^2p_n$

                   $=x_1^2\,p_1+x_2^2\,p_2+···+x_n^2\,p_n-m^2$

                   $=E(X^2)-\{E(X)\}^2$

-표준편차: $\displaystyle σ(X)=\sqrt{V(X)}$

 

    $(ⅱ)$ 이산확률변수 $X$와 두 상수 $a, b(a≠0)$에 대하여, 이산확률변수 $aX+b$의,

-평균: $E(aX+b)=aE(X)+b$

-분산: $V(aX+b)=a^2V(X)$

-표준편차: $σ(aX+b)=|a|σ(X)$

 

$(3)$이항분포

    한 번의 시행에서 사건 $A$가 일어날 확률이 $p$일 때,

    $n$회의 독립시행에서 사건 $A$가 일어나는 횟수를 확률변수 $X$라 하면,

    $X$가 가지는 값은 $0, 1, 2, ···, n($회$)$이고, $X$의 확률질량함수는 $P(X=x)=_{n}\mathrm{C}_{x}\,p^x\,q^{n-x}$

-이항분포: 위 확률변수 $X$의 확률분포  ⇒  $B(n, p)$

-평균: $E(X)=np$

-분산: $V(X)=npq$

-표준편차: $\displaystyle σ(X)=\sqrt{npq}$

 

 

 

6. 정규분포

$(1)$연속확률변수

-연속확률변수: 어떤 범위의 모든 실수 값을 가지는 확률변수 $X$

-연속확률변수의 확률밀도함수: $a≤x≤b$의 모든 실수 값을 가지는 연속확률변수 $X$에 대하여,

                                               함수 $f(x)$가 다음과 같은 성질을 가질 때,
                                               함수 $f(x)$를 연속확률변수 $X$의 확률밀도함수라 하고,
                                               확률변수 $X$는 확률밀도함수가 $f(x)$인 확률분포를 따른다고 함

    ① $f(x)≥0\,(a≤x≤b)$

    ②함수 $y=f(x)$의 그래프와 $x$축 및 두 직선 $x=a, x=b$로 둘러싸인 부분의 넓이는 $1$

    ③$P(α≤X≤β)$는 함수 $y=f(x)$의 그래프와 $x$축 및

       두 직선 $x=α, x=β$로 둘러싸인 부분의 넓이와 같음$(a≤α≤β≤b)$

 

$(2)$정규분포

-정규분포: 모든 실수 값을 가지는 연속확률변수 $X$의 확률밀도함수 $f(x)$가

                $f(x)=\displaystyle {1 \over \sqrt{2\pi}\,σ}\,e^{-{{(x-m)}^2 \over 2σ^2}}\,(m$은 상수, $σ$는 양의 상수, $e$는 $2.718281···$인 무리수 $)$

                일 때, $X$의 확률분포를 정규분포라 하고,  ⇒  $N(m, σ^2)$

                $X$는 평균이 $m$, 분산이 $σ^2$, 표준편차가 $σ$인 정규분포를 따른다고 함

-정규분포곡선의 성질

    ①직선 $x=m$에 대하여 대칭이고 종 모양의 곡선임
    ②$x=m$일 때, $f(x)$는 최댓값을 가짐
    ③$x$축을 점근선으로 함

    ④곡선과 $x$축 사이의 넓이는 1

    ⑤$m$의 값이 일정할 때, $σ$의 값이 커질수록 곡선의 중앙부분이 낮아지면서 양쪽으로 퍼지고$($분포가 고르지 않다$)$,

                                       $σ$의 값이 작아질수록 곡선의 중앙부분이 높아지면서 좁아짐$($분포가 고르다$)$

    ⑥$σ$의 값이 일정할 때, $m$의 값이 변하면 대칭축의 위치는 바뀌지만 곡선의 모양은 같음

 

-표준정규분포: 평균이 $0$이고 표준편차가 $1$인 정규분포  ⇒  $N(0, 1^2)$

-확률변수의 표준화

  : 확률변수 $X$가 정규분포 $N(m, σ^2)$을 따를 때, 확률변수 $Z=\displaystyle {X-m \over σ}$은 표준정규분포 $N(0, 1^2)$을 따름

  : 확률변수 $X$를 표준정규분포를 따르는 확률변수 $Z$로 변환하는 것을 확률변수 $X$를 표준화한다고 함

 

※이항분포와 정규분포의 관계 $($확률변수 $X$가 이항분포 $B(n, p)$를 따를 때, $n$이 충분히 크면$)$

  -확률변수 $X$는 근사적으로 정규분포 $N(np, npq)$를 따름

  -확률변수 $Z=\displaystyle {X-np \over \sqrt{npq}}$는 표준정규분포 $N(0, 1^2)$을 따름

 

 

 

7. 통계적 추정

$(1)$모집단과 표본

-모집단: 알고자 하는 조사 대상 전체

-표본: 조사하기 위하여 뽑은 모집단의 일부

-전수조사: 모집단 전체를 조사하는 것

-표본조사: 모집단의 일부분, 즉 표본을 조사하는 것

-표본의 크기: 표본에 포함된 자료의 개수

-임의추출: 표본을 추출할 때, 모집단의 각 대상이 추출될 확률이 같게 되도록 하는 것

-복원추출: 한 개의 자료를 추출한 후 추출한 것을 다시 모집단에 넣고 다음 자료를 뽑는 방법

-비복원추출: 한 개의 자료를 추출한 후 추출한 것을 다시 모집단에 넣지 않고 다음 자료를 뽑는 방법

 

$(2)$모평균과 표본평균

-모집단: 모평균 $m$, 모분산 $σ^2$, 모표준편차 $σ$

-표본: 모집단에서 크기가 $n$인 표본 $X_1, X_2, X_3, ···, X_n \,(n$개$)$을 임의추출할 때, 

          표본평균 $\overline{X}$, 표본분산 $S^2$, 표본표준편차 $S$

  ① $\overline{X}=\displaystyle {1 \over n}\,(X_1 + X_2 + ··· + X_n)$

  ② $S^2=\displaystyle {1 \over n-1}\{ (X_1-\overline{X})^2 + (X_2-\overline{X})^2 + ··· + (X_n-\overline{X})^2 \}$

  ③ $S=\sqrt{S^2}$

-표본평균: 모평균이 $m$, 모표준편차가 σ인 모집단에서 크기가 $n$인 표본을 임의추출할 때,

                표본평균의 평균 $E(\overline{X})$, 표본평균의 분산 $V(\overline{X})$, 표본평균의 표준편차 $σ(\overline{X})$

  ① $E(\overline{X})=m$

  ② $V(\overline{X})=\displaystyle {σ^2 \over n}$

  ③ $σ(\overline{X}=\displaystyle {σ \over \sqrt{n}}$

 

$(3)$표본평균의 분포

-모집단이 정규분포 $N(m, σ^2)$을 따르면 표본평균 $\overline{X}$도 정규분포 $\displaystyle N\left( m, {σ^2 \over n} \right)$를 따름

-모집단이 정규분포를 따르지 않더라도 표본의 크기 $n$이 충분히 크면,

 표본평균 $\overline{X}$은 근사적으로 정규분포 $\displaystyle N\left( m, {σ^2 \over n} \right)$를 따름

 

$(4)$모평균의 추정

-추정: 표본에서 얻은 정보를 근거로 하여 모집단의 어떤 성질을 추측하는 것

-추정의 신뢰도: 어떤 추정이 적중할 확률

-모집단이 정규분포 $N(m, σ^2)$을 따를 때, 크기가 $n$인 표본을 임의추출하여 구한

 표본평균의 값을 $\overline{x}$라 하면 모평균 $m$의 신뢰도 95%의 신뢰구간

  : $P(-1.96≤Z≤1.96)=0.95$,    $\displaystyle Z={\overline{x}-m \over {σ \over \sqrt{n}}}$
  : $\displaystyle -1.96 \,\,\, ≤ \,\,\, {\overline{x}-m \over {σ \over \sqrt{n}}} \,\,\, ≤ \,\,\, 1.96 $
  : $\displaystyle -1.96 ×  {σ \over \sqrt{n}} \,\,\, ≤ \,\,\, \overline{x}-m \,\,\, ≤ \,\,\, 1.96 ×  {σ \over \sqrt{n}} $
  : $\displaystyle -\overline{x} -1.96 ×  {σ \over \sqrt{n}} \,\,\, ≤ \,\,\, -m  \,\,\, ≤ \,\,\, -\overline{x} + 1.96 ×  {σ \over \sqrt{n}} $
  :     $\displaystyle  \overline{x} -1.96 ×  {σ \over \sqrt{n}} \,\,\, ≤ \,\,\,\,\,\,  m  \,\,\,\, ≤ \,\,\,\,\,\,  \overline{x} + 1.96 ×  {σ \over \sqrt{n}} $