[2015 개정 교육과정]고3 확률과 통계 - Ⅱ. 확률

3. 확률의 뜻과 활용

$(1)$시행과 사건

-시행: 같은 조건에서 반복할 수 있고, 그 결과가 우연에 의해 결정되는 실험이나 관찰

-표본공간: 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 가능한 결과 전체의 집합

-사건: 시행의 결과로써 일어나는 것으로 표본공간의 부분집합

-배반사건: 두 사건 $A, B$가 동시에 일어나지 않을 때, $A$와 $B$는 서로 배반이라 하고 이 두 사건을 서로 배반사건이라 함

-여사건: 어떤 사건 $A$에 대하여 $A$가 일어나지 않을 사건을 $A$의 여사건이라 함

 

$(2)$확률

-확률: 우연히 일어나는 어떤 사건에 대하여 그것이 일어날 가능성을 수의 값으로 나타낸 것

        : 사건 $A$가 일어날 확률을 기호로 $P(A)$로 나타냄

-수학적 확률: $\displaystyle P(A)={n(A) \over n(S)}={\text{(사건 A가 일어나는 경우의 수)} \over \text{(일어날 수 있는 경우의 수)}}$

-통계적 확률: $\displaystyle p={r_n \over n}={\text{(사건 A가 일어나는 횟수)} \over \text{(같은 시행을 반복한 횟수)}}$

-확률의 성질

  ①임의의 사건 $A$에 대하여 $0≤P(A)≤1$

  ②표본공간 $S$에 대하여 $P(S)=1$

  ③절대로 일어날 수 없는 사건 $\varnothing$에 대하여 $P(\varnothing)=0$

  ④$P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)$    ⇒    $\displaystyle {n(AUB) \over n(S)} = {n(A) \over n(S)}+{n(B) \over n(S)}-{n(A∩B) \over n(S)}$

  ⑤$P(A)=1-P(A^C)$

 

 

 

4. 조건부확률

$(1)$조건부확률

-어떤 시행에서 표본공간 $S$의 두 사건 $A, B$에 대하여 사건 $A$가 일어났을 때 사건 $B$가 일어날 확률을,

 사건 $A$가 일어났을 때의 사건 $B$의 조건부확률이라 하고, 기호로 $P(B|A)$로 나타냄

-조건부확률 $P(B|A)$는 사건 $A$가 일어나는 새로운 표본공간에서 사건 $A∩B$가 일어날 확률을 뜻함

- $\displaystyle P(B|A) = {n(A∩B) \over n(A)} = {P(A∩B) \over P(A)}(P(A)>0)$

 

※$\displaystyle P(B|A)={n(A∩B) \over n(A)}$: 사건 $A$가 일어났을 때, 사건 $B$가 일어날 확률

※$\displaystyle P(A∩B)={n(A∩B) \over n(S)}$: 사건 $A$가 일어나고, 사건 $B$가 일어날 확률

 

$(2)$사건의 독립과 종속

-독립: 두 사건 $A, B$에 대하여 사건 $A$가 일어나거나 일어나지 않는 것이 사건 $B$가 일어날 확률에 영향을 주지 않을 때,

          두 사건 $A, B$는 서로 독립이라 하고, 서로 독립인 두 사건을 서로 독립 사건이라 함

           :  $\displaystyle P(B|A)={P(A∩B) \over P(A)}={P(A)\, P(B) \over P(A)}=P(B)$
           :  $\displaystyle P(B|A^C)={P(A^C∩B) \over P(A^C)}={P(A^C)\, P(B) \over P(A^C)}=P(B)$

 

※두 사건 $A$와 $B$가 서로 독립이면, $A$와 $B^C$, $A^C$과 $B$, $A^C$과 $B^C$도 서로 독립임

※두 사건 $A$와 $B$가 서로 독립이기 위한 필요충분조건: $P(A∩B)=P(A)\,P(B) \, (P(A)>0, \, P(B)>0)$

 

-종속: 두 사건 $A$와 $B$가 서로 독립이 아닐 때,

          두 사건 $A$와 $B$는 서로 종속이라 하고, 서로 종속이 두 사건을 서로 종속 사건이라 함
          :  $P(A|B)≠P(A)$ 또는 $P(B|A)≠P(B)$

 

$(3)$독립시행

-독립시행: 같은 조건에서 어떤 시행을 반복할 때, 각 시행의 결과가 다른 시행의 결과에 아무런 영향을 주지 않을 경우,

                즉, 매회 일어나는 사건이 서로 독립인 경우, 이러한 시행을 독립시행이라 함

-독립시행의 확률: 한 번의 시행에서 사건 $A$가 일어날 확률을 $p$, 사건 $A$가 일어나지 않을 확률을 $q$라 하면,

                            이 시행을 $n$회 반복하는 독립시행에서 사건 $A$가 $r$번 일어날 확률은 $_{n}\mathrm{C}_{r}\,p^r\,q^{n-r}$