[2015 개정 교육과정]고3 확률과 통계 - Ⅰ. 경우의 수

 

 

1. 순열과 조합

$(1)$순열

-일반적 순열: 서로 다른 $n$개를 일렬로 배열하는 경우의 수

                     $_{n}\mathrm{P}_{n}=n!$

-원순열: 서로 다른 $n$개를 원형으로 배열하는 경우의 수

             $\displaystyle {_{n}\mathrm{P}_{n} \over n}={n! \over n}=(n-1)!$

-중복순열$($배열$)$: 서로 다른 $n$개에서 중복을 허락하여 $r$개를 택하여 일렬로 배열하는 경우의 수

                           $_{n}\mathrm{\Pi}_{r}=n^r$

-같은 것이 있는 순열: $n$개 중에서 서로 같은 것이 각각 $p$개, $q$개, ···, $r$개씩 있을 때, 모두를 일렬로 배열하는 경우의 수

                                $\displaystyle {n! \over p!q!···r!} \, (p+q+···+r=n)$

 

$(2)$조합

-일반적 조합: 서로 다른 $n$개에서 순서를 생각하지 않고 $r$개를 택하는 경우의 수

                     $_{n}\mathrm{C}_{r}$

-중복조합$($선택$)$: 서로 다른 $n$개에서 중복을 허락하여 $r$개를 택하는 경우의 수 ⇒ $n$개 중에서 $r$번 뽑음

                          $_{n}\mathrm{H}_{r}=_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}$

 

 

 

2. 이항정리

$(1)$이항정리

    자연수 $n$에 대하여 다항식 $(a+b)^n$을 전개하면

    $(a+b)^n= _{n}\mathrm{C}_{0}\,a^n + _{n}\mathrm{C}_{1}\,a^{n-1}\,b + _{n}\mathrm{C}_{2}\,a^{n-2}\,b^2 + ··· + _{n}\mathrm{C}_{r}\,a^{n-r}\,b^r + ··· + _{n}\mathrm{C}_{n}\,b^n $

 

  -이항정리: $(a+b)^n$을 전개하는 것

  -이항계수: $ _{n}\mathrm{C}_{0} ,\, _{n}\mathrm{C}_{1} ,\, _{n}\mathrm{C}_{2},\, ··· ,\,  _{n}\mathrm{C}_{r} ,\, ···,\,  _{n}\mathrm{C}_{n}$

  -일반항: $ _{n}\mathrm{C}_{r}\,a^{n-r}\,b^r $

 

$(2)$이항계수의 성질

    $n$이 자연수일 때, $(1+x)^n$을 전개하면

    $(1+x)^n= _{n}\mathrm{C}_{0} + _{n}\mathrm{C}_{1}\,x + _{n}\mathrm{C}_{2}+,x^2 + _{n}\mathrm{C}_{3}+,x^3 + ··· + _{n}\mathrm{C}_{n}x^n $

 

  - $x=1$을 대입해보면, $ _{n}\mathrm{C}_{0}+ _{n}\mathrm{C}_{1}+ _{n}\mathrm{C}_{2}+···+ _{n}\mathrm{C}_{n}=2^n$ ··· ㉠

  - $x=-1$을 대입해보면, $ _{n}\mathrm{C}_{0}- _{n}\mathrm{C}_{1}+ _{n}\mathrm{C}_{2}- _{n}\mathrm{C}_{3}+···+(-1)^n \, _{n}\mathrm{C}_{n}=0 $ ··· ㉡

  - $ _{n}\mathrm{C}_{0}+ _{n}\mathrm{C}_{2}+···+  _{n}\mathrm{C}_{n} ( \text{짝수항} ) = _{n}\mathrm{C}_{1}+ _{n}\mathrm{C}_{3}+···+ _{n}\mathrm{C}_{n-1} ( \text{홀수항})= 2^{n-1} $ ··· ㉠$+$㉡ 또는 ㉠$-$㉡

 

$(3)$파스칼의 삼각형

-파스칼의 삼각형: 자연수 $n$에 대하여 $(a+b)^n$의 전개식에서 이항계수를 차례대로 삼각형 모양으로 나열한 것

 

\begin{array}{ccccccccccc}
&&&&&& _0\mathrm{C}_0 &&&&& \\
&&&&&& 1 &&&&& \\[1ex]

&&&&& _1\mathrm{C}_0 && _1\mathrm{C}_1 &&&& \\
&&&&& 1 && 1 &&&& \\[1ex]

&&&& _2\mathrm{C}_0 && _2\mathrm{C}_1 && _2\mathrm{C}_2 &&& \\
&&&& 1 && 2 && 1 &&& \\[1ex]

&&& _3\mathrm{C}_0 && _3\mathrm{C}_1 && _3\mathrm{C}_2 && _3\mathrm{C}_3 & \\
&&& 1 && 3 && 3 && 1 & \\[1ex]

&& _4\mathrm{C}_0 && _4\mathrm{C}_1 && _4\mathrm{C}_2 && _4\mathrm{C}_3 && _4\mathrm{C}_4 \\
&& 1 && 4 && 6 && 4 && 1 \\[1ex]

& _5\mathrm{C}_0 && _5\mathrm{C}_1 && _5\mathrm{C}_2 && _5\mathrm{C}_3 && _5\mathrm{C}_4 && _5\mathrm{C}_5 \\
& 1 && 5 && 10 && 10 && 5 && 1 \\
\end{array}

 

- $ _{n}\mathrm{C}_{r} = _{n}\mathrm{C}_{n-r} \,(0≤r≤n) $

- $ _{n}\mathrm{C}_{r} + _{n}\mathrm{C}_{r+1} = _{n+1}\mathrm{C}_{r+1} (0≤r≤n-1) $

 

※하키스틱 패턴: $_{2}\mathrm{C}_{0}+ _{3}\mathrm{C}_{1}+ _{4}\mathrm{C}_{2}= _{5}\mathrm{C}_{2}$
                        : $_{2}\mathrm{C}_{2}+ _{3}\mathrm{C}_{2}+ _{4}\mathrm{C}_{2}= _{5}\mathrm{C}_{3}$