[2015 개정 교육과정]고3 기하 - Ⅲ. 공간도형과 공간좌표

 

5. 공간도형

$(1)$위치관계

-평면의 결정 조건

  ①한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점

  ②한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 한 점

  ③한 점에서 만나는 두 직선

-두 직선의 위치관계: ①만난다$($한 점, 일치$)$    ②평행하다    ③꼬인 위치에 있다$($공간$)$

-직선과 평면의 위치관계: ①한 점에서 만난다    ②평행하다    ③포함된다

-두 평면의 위치관계: ①만난다$($한 직선, 일치$)$    ②평행하다

 

$(2)$각

-두 직선이 이루는 각: 꼬인 위치에 있을 경우 평행이동

 

-직선과 평면이 이루는 각

-삼수선의 정리: 평면 $α$ 위에 있지 않은 점 $P$, 평면 $α$ 위의 점 $O$,

                        점 $O$를 지나지 않는 평면 $α$ 위의 직선 $l$, 직선 $l$ 위의 점 $H$에 대하여,

  ① $\overline{PO}⊥α, \, \overline{OH}⊥l$ 이면 $\overline{PH}⊥l$

      : $\overline{PO}⊥α \, ⇒ \, \overline{PO}⊥l$이며, $ \overline{OH}⊥l$ 이므로,

        평면 $POH⊥l$이고, 평면 $POH$ 위의 모든 직선은 $l$과 직교함

  ② $\overline{PO}⊥α, \, \overline{PH}⊥l$ 이면 $\overline{OH}⊥l$
      : $\overline{PO}⊥α \, ⇒ \, \overline{PO}⊥l$이며, $ \overline{PH}⊥l$ 이므로,
        평면 $POH⊥l$이고, 평면 $POH$ 위의 모든 직선은 $l$과 직교함

  ③ $\overline{PH}⊥l, \, \overline{OH}⊥l, \, \overline{PO}⊥\overline{OH}$ 이면 $\overline{PO}⊥α$
      : $\overline{PH}⊥l, \, \overline{OH}⊥l $ ⇒ 평면 $PHO⊥l$이므로, $\overline{PO}⊥l$이고,

        $\overline{PO}⊥\overline{OH}$이므로, $\overline{PO}$는 평면 $α$위의 두 직선과 직교하므로, $\overline{PO}⊥α$

 

-두 평면이 이루는 각: 두 평면이 만나면 네 개의 이면각이 생기는데, 이 중 한 이면각의 크기를 말함

  ①이면각: 공간에서 직선 $l$을 공유하는 두 반평면 $α, β$로 이루어진 도형

  ②이면각의 변: 직선 $l($교선$)$

  ③이면각의 면: 두 반평면 $α, β$

  ④이면각의 크기: ∠AOB의 크기

 

$(3)$정사영

  ①정사영: 점 $P$에서 평면 $α$에 내린 수선의 발을 $P'$이라 할 때, 점 $P'$을 점 $P$의 평면 $α$ 위로의 정사영이라 함

  ②정사영의 길이: 선분 $AB$의 평면 $α$ 위로의 정사영을 선분 $A'B'$이라 하고,

                            직선 $AB$와 평면 $α$가 이루는 각의 크기를 $θ˚(0˚≤θ˚≤90˚)$라 하면,

                                     $\overline{A'B'}=\overline{AB}\cosθ˚$

  ③정사영의 넓이: 평면 $β$ 위의 도형 $F$의 평면 $α$ 위로의 정사영을 $F'$이라 하고,

                            도형 $F$와 도형 $F'$의 넓이를 각각 $S, S'$이라 할 때,

                            평면 $α$와 평면 $β$가 이루는 각의 크기가 $θ˚(0˚≤θ˚≤90˚)$이면,

                                     $S'=S \cosθ˚$

 

 

 

6. 공간좌표

$(1)$공간좌표

-좌표공간: 좌표축$\text{(x축, y축, z축)}$과 좌표평면$\text{(xy평면, yz평면, zx평면)}$이 정해진 공간

-공간좌표: 좌표공간의 임의의 점 $P$에 대응하는 세 실수의 순서쌍 $(a, b, c)$를 점 $P$의 공간좌표라 함

-수선의 발

  ①점 $P(a, b, c)$에서 $x$축에 내린 수선의 발의 좌표 ⇒ $(a, 0, 0)$

  ②점 $P(a, b, c)$에서 $y$축에 내린 수선의 발의 좌표 ⇒ $(0, b, 0)$

  ③점 $P(a, b, c)$에서 $x$축에 내린 수선의 발의 좌표 ⇒ $(0, 0, c)$

-대칭이동

  ①점 $P(a, b, c)$를 $x$축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표 ⇒ $(a, -b, -c)$

  ②점 $P(a, b, c)$를 $y$축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표 ⇒ $(-a, b, -c)$

  ③점 $P(a, b, c)$를 $x$축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표 ⇒ $(-a, -b, c)$

  ④점 $P(a, b, c)$를 $xy$평면에 대하여 대칭이동한 점의 좌표 ⇒ $(a, b, -c)$

  ⑤점 $P(a, b, c)$를 $yz$평면에 대하여 대칭이동한 점의 좌표 ⇒ $(-a, b, c)$

  ⑥점 $P(a, b, c)$를 $zx$평면에 대하여 대칭이동한 점의 좌표 ⇒ $(a, -b, c)$

  ⑦점 $P(a, b, c)$를 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표 ⇒ $(-a, -b, -c)$

-두 점 사이의 거리: 좌표공간에서 두 점 $A(x_1, y_1, z_1), \, B(x_2, y_2, z_2)$에 대하여

                             $\displaystyle \overline{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

-내분점과 외분점: 좌표공간에서 두 점 $A(x_1, y_1, z_1), \, B(x_2, y_2, z_2)$에 대하여

  ① $\overline{AB}$를 $m:n \, (m>0, n>0)$ 으로 내분하는 점 $P$의 좌표

                                                                               $\displaystyle \left( {mx_2+nx_1 \over m+n}, {my_2+ny_1 \over m+n}, {mz_2+nz_1 \over m+n} \right)$

  ② $\overline{AB}$를 $m:n \, (m>0, n>0, m≠n)$ 으로 외분하는 점 $Q$의 좌표
                                                                                $\displaystyle \left( {mx_2-nx_1 \over m-n}, {my_2-ny_1 \over m-n}, {mz_2-nz_1 \over m-n} \right)$

 

$(2)$구의 방정식

-표준형: $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$

           : 중심이 $C(a, b, c)$이고, 반지름의 길이가 $r$인 구의 방정식

-일반형: $x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0$

             ⇒  $\displaystyle \left( x+{A \over 2} \right) ^2+ \left( y+{B \over 2} \right) ^2+ \left( z+{C \over 2} \right) ^2={A^2+B^2+C^2-4D \over 4}$

           : 중심의 좌표가 $\displaystyle \left( -{A \over 2}, -{B \over 2}, -{C \over 2} \right)$, 반지름의 길이가 $\displaystyle {\sqrt{A^2+B^2+C^2-4D} \over 2}$인 구