[2015 개정 교육과정]고급 수학 １ - Ⅱ. 행렬과 선형변환

 

 

1. 행렬의 연산과 행렬식

$(1)$행렬의 뜻

 

①행렬이란 무엇인가?

  -행: 가로로 배열한 줄

  -열: 세로로 배열한 줄
  -정사각행렬: 행과 열의 수가 같은 행렬

  -대각성분: 행렬 $A$의 $a_{11}, a_{22}, a_{33}, ···$

  -대각행렬: 대각성분을 제외한 모든 성분이 $0$인 정사각행렬

  -단위행렬: 대각성분이 모두 $1$인 대각행렬

  -전치행렬: 기존 행렬의 행과 열을 바꿔서 얻어진 행렬  ⇒  $m×n$ 행렬 $A$의 전치행렬은 $n×m$ 행렬 $A^T$

  -대칭행렬: 정사각행렬 $A$가 그 자신의 전치행렬 $A^T$와 같은 행렬

  -영행렬: 모든 성분이 $0$인 행렬 $O$

②행렬의 덧셈은 어떻게 할까?

  -행렬의 덧셈과 실수배의 성질

③행렬의 곱셈은 어떻게 할까?

  -두 행렬 $A$와 $B$의 곱 $AB$는 $A$의 열의 개수와 $B$의 행의 개수가 같을 때만 정의됨

  -행렬의 곱셈의 성질

 

$(2)$행렬식

 

①행렬식이란 무엇인가?

  -행렬식: $det A = |A|$

  -행렬식은 정사각행렬에서만 정의됨

  -이차 정사각행렬의 행렬식: $|A| = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

  -삼차 정사각행렬의 행렬식: $|A| = a_{11}A_{11}-a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}$  ⇒  여인수 전개

                                         : $|A| = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}$

                                                     $-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$  ⇒  대각선 법칙

  -소행렬: 소행렬 $A_{ij}$는 행렬 $A$의 제$i$행과 제$j$열을 제외하고 만든 이차 정사각행렬임

  -삼차 정사각행렬의 행렬식의 성질

 

 

 

2. 역행렬과 연립일차방정식

$(1)$연립일차방정식과 행렬

 

①행렬을 이용하여 연립일차방정식을 어떻게 풀까?

  -계수행렬: 연립일차방정식의 계수들을 요소로 하는 행렬

  -기본행연산$($가우스 소거법$)$

②기본행렬을 이용하여 연립방정식을 어떻게 풀까?

  -기본행렬: 단위행렬에 한 번의 기본행연산을 적용하여 얻을 수 있는 행렬

 

$(2)$역행렬  ⇒  행렬의 나눗셈

 

①역행렬이란 무엇인가?

  -역행렬: 행렬 $A$가 정사각행렬일 때, $AB=I, \, BA=I$를 만족하는 정사각행렬 $B$를 $A$의 역행렬 $A^{-1}$이라 함

  -기본행연산으로 단위행렬을 만들 수 없는 행렬에는 역행렬이 존재하지 않음

  -$det A≠0$이면 역행렬이 존재함

②행렬식을 이용한 역행렬 계산은 어떻게 할까?

  -수반행렬$($여인수행렬$)$: 행렬 $A$의 각 성분의 여인수로 만든 여인수 행렬 $C$를 전치한 행렬 $adj \, A$

  - $A · adj \, A = |A| · I$

     $A · \displaystyle \left( {1 \over |A|} · adj \, A \right) = I$
  $∴ \, A^{-1} = \displaystyle {1 \over |A|} · adj \, A$

  -역행렬을 갖는 행렬들의 성질

 

 

 

3. 행렬과 선형변환

$(1)$선형변환  ⇒  함수

 

①선형변환이란 무엇인가?

  -변환: 좌표평면 위의 한 점 $P(x, y)$를 점 $P'(x', y')$에 대응시키는 함수 $f$  ⇒  $f : (x, y) → (x' ,y')$

  -선형변환: 변환 $f$가 임의의 세 벡터 $x, \, x_1, \, x_2$와 실수 $k$에 대하여 다음을 만족시킬 때, 함수 $f$를 선형변환이라 함

    $(ⅰ)$ $f(kx)=kf(x)$

    $(ⅱ)$ $f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$ 

②선형변환을 나타내는 행렬이란 무엇인가?

  -선형변환 $f$를 나타내는 행렬, 선형변환 $f$의 행렬

  -행렬변환은 선형변환임

 

$(2)$여러 가지 선형변환

 

①대칭변환이란 무엇인가?

  -대칭변환: 좌표평면 위의 점을 직선이나 점에 대칭인 점으로 옮기는 변환

  -선형변환인 대칭변환: $x$축 대칭변환, $y$축 대칭변환, 원점 대칭변환, 직선 $x=y$ 대칭변환

②닮음변환이란 무엇인가?

  -닮음변환: $0$이 아닌 실수 $k$에 대하여 좌표평면 위의 점 $P(x, y)$를 점 $P'(kx, ky)$에 대응시키는 변환 $f$를

                  원점을 닮음의 중심으로 하고 닮음비가 $k$인 닮음변환이라 함

  -항등변환: $k=1$인 닮음변환

③회전변환이란 무엇인가?

  -회전변환: 좌표평면 위의 점 $P(x, y)$를 원점을 중심으로 $θ$만큼 회전시킨 점 $P'(x', y')$로 옮기는 변환

                   : $x'=x \, \cosθ - y \, \sinθ$
                   : $y'=x \, \sinθ + y \, \cosθ$

※직교변환: 벡터의 길이를 보존하는 변환, 즉 좌표평면 위의 모든 벡터 $x$에 대해 $|f(x)|=|x|$를 만족시키는 선형변환

 

$(3)$선형변환의 합성과 역변환

 

①선형변환의 합성이란 무엇인가?

  -합성변환: 좌표평면에서 두 선형변환 $f : (x, y) → (x', y'), \, g: (x', y') → (x'', y'')$에 대하여

                  점 $(x, y)$를 점 $(x'', y'')$으로 옮기는 변환을 $f$와 $g$의 합성변환이라 함  ⇒  $g \circ f : (x, y) → (x'', y'')$

  -선형변환의 합성: 두 선형변환 $f$와 $g$의 행렬을 각각 $A$와 $B$라고 하면,

                             두 선형변환의 합성변환 $g \circ f$는 행렬 $BA$로 나타냄

②선형변환의 역변환이란 무엇인가?

  -역변환: 좌표평면에서 선형변환 $f : (x, y) → (x', y')$에 대하여

               점 $(x', y')$을 점 $(x, y)$로 옮기는 변환을 $f$의 역변환이라 함  ⇒ $f^{-1}$

  -선형변환의 역변환: 선형변환 $f$의 행렬이 $A$일 때, $A$의 역행렬 $A^{-1}$가 존재하면,

                                 $f$의 역변환 $f^{-1}$은 선형변환이며, $f^{-1}$를 나타내는 행렬은 $A^{-1}$임

 

 

 

4. 행렬의 대각화

$(1)$고윳값과 고유벡터

 

①고윳값과 고유벡터란 무엇인가?

  $A$가 정사각행렬이고 $λ$가 실수일 때, $A \overrightarrow{x}=λ \overrightarrow{x}$를 만족하면

  -고윳값: $λ$를 행렬 $A$의 고윳값이라 함

  -고유벡터: $\overrightarrow{x}$를 고윳값 $λ$에 대응하는 고유벡터라 함

  -영벡터는 고유벡터가 될 수 없음

②특성다항식이란 무엇인가?

  $A \overrightarrow{x}=λ \overrightarrow{x}$

  $(A-λI) \overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$
  -$(A-λI)$의 역행렬이 존재할 경우 고유벡터가 영벡터가 됨
  -$(A-λI)$의 역행렬은 존재하지 않음  ⇒  행렬식 $| (A-λI) |= 0$

  -특성다항식: $det(A-λI)=0$를 행렬 $A$의 특성다항식이라 함

  -정사각행렬 $A$의 고윳값은 특성다항식을 만족하는 해 $λ$임

③케일리-해밀턴 공식이란 무엇인가?

  -케일리-해밀턴 공식

  -케일리-해밀턴 공식 활용법: 제곱의 차수 낮추기, 역행렬 구하기

 

$(2)$행렬의 대각화

 

①일차독립, 일차종속이란 무엇인가?

  -열벡터: 벡터를 행렬 형태로 쓸 때 하나의 열에 벡터의 원소들을 모아둔 형태

  -일차종속: 벡터 $\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}, \overrightarrow{v_3}$에 대하여, $c_1 \overrightarrow{v_1} + c_2 \overrightarrow{v_2} + c_3 \overrightarrow{v_3} = \overrightarrow{0}$이 성립하는

                  적어도 하나는 $0$이 아닌 실수 $c_1, c_2, c_3$가 존재하면, $\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}, \overrightarrow{v_3}$의 집합을 일차종속이라 함
  -일차독립: 벡터들의 집합이 일차종속이 아닐 때 일차독립이라 함

                   ⇒  열벡터로 구성한 행렬 $A$에서 $detA≠0$이면 일차독립임

②행렬의 대각화란 무엇인가?

  -대각행렬: 대각성분을 제외한 모든 성분이 $0$인 정사각행렬

  -대각화: 역행렬을 갖는 행렬 $P$에 대하여 정사각행렬 $A$와 대각행렬 $D$가 $P^{-1}AP=D$를 만족하면 행렬 $A$는 대각화 가능하다고 함

  -대각화 방법: ①특성다항식으로 고윳값 $λ$ 구하기

                       ②특성다항식에 구한 $λ$를 대입하여 고유벡터 구하기

                       ③각 고윳값에서 고유벡터 하나씩 선택하기$($주로 $1)$

                       ④$D, P$ 구하기

  -대각화 가능한 행렬의 성질: $n$차 정사각행렬 $A$가 대각화 가능하다는 것은

                                             $A$가 $n$개의 일차독립인 고유벡터를 가진다는 것임

③행렬의 대각화를 이용하여 행렬의 거듭제곱을 어떻게 구할까?

  - $A^n=PD^nP^{-1}$