[2015 개정 교육과정]고3 기하 - Ⅰ. 이차곡선

 

1. 이차곡선

$(1)$포물선

-정의: 평면 위의 한 점 $F$와 이 점을 지나지 않는 직선 $l$이 주어질 때,

          점 $F$에 이르는 거리와 직선 $l$에 이르는 거리가 같은 점들의 집합 ⇒ 초점 $F$, 준선 $l$, 축, 꼭짓점 $O$

-방정식: ①초점이 $F(p,0)$, 준선이 $x=-p$인 포물선의 방정식    $y^2=4px(p≠0)$

             ②초점이 $F(0,p)$, 준선이 $y=-p$인 포물선의 방정식    $x^2=4py(p≠0)$

-평행이동: ①포물선 $y^2=4px$를 $x$축 방향으로 $m$만큼, $y$축 방향으로 $n$만큼 평행이동한 포물선의 방정식

                       $(y-n)^2=4p(x-m)$

                ②포물선 $x^2=4py$를 $x$축 방향으로 $m$만큼, $y$축 방향으로 $n$만큼 평행이동한 포물선의 방정식

                       $(x-m)^2=4p(y-n)$

 

 

$(2)$타원

-정의: 평면 위의 두 점 $F, F'$으로부터의 거리의 합이 일정한 점들의 집합

          ⇒ 초점 $F, F'$, 꼭짓점 $A, A', B, B'$, 장축·단축 $\overline{AA'}, \overline{BB'}$, 중심 $O$

         ※ $a=b$이면 원이 됨

-방정식: ①두 초점 $F(c,0), F'(-c,0)$으로부터의 거리의 합$($장축$)$이 $2a$인 타원의 방정식

                    $\displaystyle {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1(a>c>0, \, c^2=a^2-b^2)$

             ②두 초점 $F(0,c), F'(0, -c)$으로부터의 거리의 합$($장축$)$이 $2b$인 타원의 방정식

                    $\displaystyle {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1(b>c>0, \, c^2=b^2-a^2)$

-평행이동: 타원 $\displaystyle {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1$을 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $n$만큼 평행이동한 타원의 방정식

                    $\displaystyle {(x-m)^2 \over a^2} + {(y-n)^2 \over b^2} = 1$

 

 

$(3)$쌍곡선

-정의: 평면 위의 두 점 $F, F'$으로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 집합

          ⇒ 초점 $F, F'$, 꼭짓점 $A, A'$, 주축 $\overline{AA'}$, 중심 $O$

-방정식: ①두 초점 $F(c,0), F'(-c,0)$으로부터의 거리의 차$($주축$)$가 $2a$인 쌍곡선의 방정식

                    $\displaystyle {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 1(c>a>0, \, c^2=a^2+b^2)$

             ②두 초점 $F(0,c), F'(0, -c)$으로부터의 거리의 차$($주축$)$가 $2b$인 쌍곡선의 방정식

                    $\displaystyle {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = -1(c>b>0, \, c^2=b^2+a^2)$

-점근선: 쌍곡선 $\displaystyle {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 1, \, \, \, {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = -1$의 점근선의 방정식    $\displaystyle y={b \over a}x, \, \, \, y=-{b \over a}x$

-평행이동: ①쌍곡선 $\displaystyle {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 1$을 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $n$만큼 평행이동한 쌍곡선의 방정식

                    $\displaystyle {(x-m)^2 \over a^2} - {(y-n)^2 \over b^2} = 1$

                ②쌍곡선 $\displaystyle {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = -1$을 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $n$만큼 평행이동한 쌍곡선의 방정식

                    $\displaystyle {(x-m)^2 \over a^2} - {(y-n)^2 \over b^2} = -1$

 

 

 

 

2. 이차곡선과 직선

$(1)$포물선

-직선과 위치관계: 포물선과 직선 $y=mx+n(m≠0)$의 교점의 개수는

                           두 식에서 $y$를 소거하여 만든 $x$에 대한 이차방정식의 실근의 개수와 일치함$($판별식 $D)$

-접선의 방정식: ①포물선 $y^2=4px$에 접하고 기울기가 $m$인 접선의 방정식 $\displaystyle y=mx+{p \over m} \, (m≠0)$

                        ②포물선 $y^2=4px$위의 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식 $y_1\, y=2p \, (x+x_1)$

                        ③포물선 $x^2=4py$에 접하고 기울기가 $m$인 접선의 방정식 $y=mx-m^2p \, (m=0 \, \, \text{가능})$

                        ④포물선 $x^2=4py$위의 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식 $x_1 \, x=2p \, (y+y_1) $

 

$(2)$타원

-직선과 위치관계: 타원과 직선 $y=mx+n(m≠0)$의 교점의 개수는

                           두 식에서 $y$를 소거하여 만든 $x$에 대한 이차방정식의 실근의 개수와 일치함 $($판별식 $D)$

-접선의 방정식: ①타원 $\displaystyle {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1$에 접하고 기울기가 $m$인 접선의 방정식 $\displaystyle y=mx ± \sqrt{a^2m^2+b^2}$

                        ②타원 $\displaystyle {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1$ 위의 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식 $\displaystyle {x_1 x \over a^2} + {y_1 y \over b^2} = 1$

 

$(3)$쌍곡선

-직선과 위치관계: 쌍곡선과 직선 $y=mx+n(m≠0)$의 교점의 개수는

                           두 식에서 $y$를 소거하여 만든 $x$에 대한 이차방정식의 실근의 개수와 일치함 $($판별식 $D)$

                           $(ⅰ) \, a^2m^2-b^2=0$일 때, $m=± \displaystyle {b \over a}$이므로 직선의 기울기는 점근선의 기울기와 같음

                                · $n=0$이면 직선은 점근선이 되므로 쌍곡선과 만나지 않음

                                · $n≠0$이면 직선은 점근선에 평행한 직선이므로 쌍곡선과 한점에서 만남

                           $(ⅱ) \, a^2m^2-b^2≠0$일 때, 서로 다른 두 점에서 만나거나, 접하거나, 만나지 않음 $($판별식 $D)$

-접선의 방정식: ①쌍곡선 $\displaystyle {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 1$에 접하고 기울기가 $m$인 접선의 방정식

                               $\displaystyle y=mx ± \sqrt{a^2m^2-b^2} \, \, \, (a^2m^2-b^2>0, \, m<-{b \over a}, \, m>{b \over a})$

                        ②쌍곡선 $\displaystyle {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 1$위의 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식 $\displaystyle {x_1 x \over a^2} - {y_1 y \over b^2} = 1$

                        ③쌍곡선 $\displaystyle {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = -1$에 접하고 기울기가 $m$인 접선의 방정식

                               $\displaystyle y=mx ± \sqrt{b^2-a^2m^2} \, \, \, (b^2-a^2m^2>0, \, -{b \over a}<m<{b \over a})$

                        ④쌍곡선 $\displaystyle {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = -1$위의 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식 $\displaystyle {x_1 x \over a^2} - {y_1 y \over b^2} = -1$