[2015 개정 교육과정]고급 수학 １ - Ⅲ. 복소수와 극좌표

 

1. 복소수와 극형식

$(1)$복소평면

 

①복소평면이란 무엇인가?

  -복소평면: 복소수 $z=a+bi \, → \, P(a, b), \, P(z)$를 대응시킨 평면

  -실수부분: $Re(z)=a$

  -허수부분: $Im(z)=b$

  -실수축: $x$축

  -허수축: $y$축

②복소수의 절댓값이란 무엇인가?

  -복소수의 절댓값: 벡터 $z$의 길이  ⇒  $|z|=|a+bi|=\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}$

  -복소수의 절댓값의 성질

③복소평면의 두 점사이의 거리는 무엇인가?

  - $P(z)=P(a,b), \, z=a+bi,\, P(w)=P(c,d), \, w=c+di$가 $0$이 아닌 두 복소수일 때,

    $\overline{PQ}=|z-w|=\displaystyle \sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}=\sqrt{|z|^2+|w|^2-2Re(z\overline{w})}$

  -절댓값과 거리

 

$(2)$복소수의 극형식

 

①복소수의 극형식이란 무엇인가?

  -극형식: 복소수 $z=a+bi$를 $a=|z|\cosθ, \, b=|z|\sinθ$로 치환하여 $z=|z|(\cosθ+i\sinθ)$로 나타낸 것

  -편각: 극형식에서 $θ$를 복소수 $z$의 편각이라 함  ⇒  $θ+2n \pi=arg(z)=arg(a+bi), \, \tanθ=\displaystyle {b \over a}$

  -단위복소수: 절댓값이 $1$이고 편각이 $θ$인 복소수 $\cosθ+i\sinθ$  ⇒  $e^{iθ}$

                    : 절댓값이 $r$이고 편각이 $θ$인 복소수 $re^{iθ}$

  -단위복소수의 켤레복소수: $\overline{e^{iθ}}=\cosθ-i\sinθ=\cos(-θ)+i\sin(-θ)=e^{-iθ}$

  -복소수의 곱과 몫: $e^{ix}e^{iy}=(\cos x+i \sin x)(\cos y+i \sin y)$

                                         $=(\cos x \cos y- \sin x \sin y)+i(\cos x \sin y+\sin x \cos y)$

                                         $=\cos(x+y)+i \sin(x+y)=e^{i(x+y)}$

                            : $\displaystyle {e^{ix} \over e^{iy}}=e^{ix}e{-iy}=e^{i(x-y)}$

  -단위복소수를 이용한 삼각함수: $\cos θ=\displaystyle {e^{iθ}+e^{-iθ} \over 2}, \,\,\, \sin θ=\displaystyle {e^{iθ}-e^{-iθ} \over 2i}$

  -복소수와 회전변환: 복소평면에서 복소수 $z$가 나타내는 점을 원점을 중심으로 $α$만큼 회전시킨 점은

                                 복소수 $z(\cos α + i \sin θ)$가 나타내는 점임

 

$(3)$드 무와브르 정리

 

①드 무와브르 정리란 무엇인가?

  -드 무와브르 정리: $(e^{iθ})^n=e^{inθ}$    ⇒    $z^n=r^n(e^{iθ})^n=r^n e^{inθ}=r^n(\cos nθ+i \sin nθ)$

  -복소수 $w$의 $n$제곱근: 방정식 $z^n=ω$를 만족하는 복소수 $z$를 $ω$의 $n$ 제곱근이라 함

                                     $ω=|ω|(\cos ψ + i \sin ψ), \,\,\, z=|z|(\cos θ+i \sin θ), \,\,\, z^n=ω$ 에서

                                            $|z|^n(\cos nθ + i \sin nθ) = |ω|(\cos ψ + i \sin ψ)$

                                       $∴|z|=|ω|^{1 \over n}, \,\,\, nθ=ψ+2k \pi \,(k=0,1,···, n-1)$

  -$ω_n$: $1$의 원시 $n$ 제곱근  ⇒  $1, ω_n, ω_n^2, ···, ω_n^{n-1}$

 

 

 

2. 극좌표와 극방정식

$(1)$극좌표

 

①극좌표란 무엇인가?

  -극좌표: 복소평면과 일대일 대응 관계에 있는 좌표평면 위의 모든 점을

               원점으로부터의 거리$(r)$와 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기$(θ)$를 이용하여 나타낸 것  ⇒  $P(r, θ)$

  -극점: 고정된 점 $O$

  -극축: 반직선 $OX$

  -극평면: 극점과 극축이 주어진 평면

  -방향 거리: 극점으로부터 점 $P$까지의 방향이 주어진 거리 $r$

  -편각: 극축으로부터 점 $P$까지 회전한 양에 대한 일반각 $θ$

          : 극축으로부터 반시계방향이면 양으로, 시계방향이면 음으로 정함

  -극좌표계: 평면 위의 점을 극좌표를 이용하여 나타내는 좌표계

  -점 $(r, \, θ)$의 모든 극좌표: $=((-1)^n r, \, n \pi +θ)$

                                                          $(r, \, θ) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =(-r, \, \pi +θ)$

                                                    $=(r, \, 2 \pi +θ)=(-r, \, 3 \pi +θ)$
                                                    $=(r, \, 4 \pi +θ)=(-r, \, 5 \pi +θ)$

  -직교좌표: 데카르트 좌표계$(x$축, $y$축$)$

  -직교좌표와 극좌표: 점 $P$의 직교좌표 $(x, y)$, 극좌표 $(r, θ)$의 관계

                                          $x=r \, \cos θ, \,\,\, y=r \, \sin θ$

 

$(2)$극방정식과 그래프

 

①극방정식이란 무엇인가?

  -직교방정식: 직교좌표 $(x, y)$를 이용하여 나타낸 방정식  ⇒  $y=f(x), \,\,\, f(x,y)=0$

  -극방정식: 극좌표 $(r, θ)$를 이용하여 나타낸 방정식         ⇒  $r=f(θ), \,\,\, f(r, θ)=0$

  -직교방정식과 극방정식: 직교방정식 $f(x,y)=0$ 은 극방정식 $f(r \cos θ, r \sin θ)=0$ 과 같음

②극방정식의 그래프는 어떻게 그릴까?

  -그래프의 대칭이동: ㉠ $x$축 대칭: $(r, θ)$  ⇒  $(r, -θ), \,\,\, (-r, \pi -θ)$

                                 ㉡ $y$축 대칭: $(r, θ)$  ⇒  $(r, \pi -θ), \,\,\, (-r, -θ)$

                                 ㉢ 원점 대칭: $(r, θ)$  ⇒  $(r, \pi +θ), \,\,\, (-r, θ)$

  -그래프의 대칭성:    ㉠ $r=f(-θ)$ 대입 → $r$이면 $x$축 대칭, $-r$이면 $y$축 대칭

                                ㉡ $r=f(\pi -θ)$ 대입 → $r$이면 $y$축 대칭, $-r$이면 $x$축 대칭

                                ㉢ $r=f(\pi +θ)$ 대입 → $r$이면 원점 대칭

 

$(3)$접선과 교각

 

①접선과 교각은 무엇인가?

  -접선의 기울기: 극방정식 $r=f(θ)$의 그래프에서 점 $(r, θ)$에서 접선의 기울기 $m(θ)$
                               $x=f(θ) \cos θ, \,\,\, y=f(θ) \sin θ$
                               $m(θ)=\displaystyle {dy \over dx} = { {dy \over dθ} \over {dx \over dθ} } = {f'(θ) \sin θ + f(θ) \cos θ \over f'(θ) \cos θ - f(θ) \sin θ} \, ({dx \over dθ} ≠ 0)$

                        : 극방정식 $r=f(θ)$의 그래프에서 극점 $(0, θ_0)$에서 접선의 기울기 $m(θ)$
                              $m(θ_0)=\tan {θ_0}$

  -교각: 극방정식 $r=f(θ)$의 그래프와 직선 $θ=θ_0$이 점 $P(r_0, θ_0)$에서 만날 때,

            점 $P(r_0, θ_0)$에서 $r=f(θ)$의 그래프에 그은 접선이 직선 $θ=θ_0$과 이루는 일반각을

            점 $P$에서의 교각, $θ=θ_0$일 때의 교각이라 함  ⇒  $α(θ_0)$

  -직선 $θ=θ_0$: 각도가 고정된 직선

  -교각 공식: 점 $P(r_0, θ_0)$에서의 접선이, $x$축 양의 방향과 이루는 각을 $θ_1$이라고 할 때,
                    $\tan (θ_1)=m(θ_0)$    ⇒    점 $P(r_0, θ_0)$에서의 접선의 기울기
                    $\displaystyle {\sin θ_1 \over \cos θ_1}={r' \sin θ_0 + r \cos θ_0 \over r' \cos θ_0 - r \sin θ_0} \, (\cos θ_1 ≠ 0)$
                    $r \cos (θ_1 - θ_0)=r' \sin (θ_1 - θ_0)$
                    $\displaystyle {\sin (θ_1 - θ_0) \over \cos (θ_1 - θ_0)}={r \over r'}$
                    $\displaystyle \tan (θ_1 - θ_0)=\tan {α(θ_0)}={r \over r'}={f(θ_0) \over f'(θ_0)}$