[2015 개정 교육과정]고3 미적분 - Ⅰ. 수열의 극한

 

 

1. 수열의 극한

$(1)$수렴과 발산

①수열 $\{ a_n \}$에서 $n$의 값이 한없이 커질 때, $a_n$의 값이 $α$에 가까워지면,

   수열 $\{ a_n \}$은 $α$에 수렴한다고 하고, $α$를 수열 $\{ a_n \}$의 극한이라 함

  -$\displaystyle \lim_{n \to ∞}a_n=α$

  -$n→∞$일 때, $a_n→α$

 

②수열 $\{ a_n \}$이 수렴하지 않을 때, 수열 $\{ a_n \}$은 발산한다고 함

  -양의 무한대로 발산: $\displaystyle \lim_{n \to ∞}a_n=∞$,

                                 $n→∞$일 때, $a_n→∞$

  -음의 무한대로 발산: $\displaystyle \lim_{n \to ∞}a_n=-∞$,
                                 $n→∞$일 때, $a_n→-∞$

  -진동: $\displaystyle \lim_{n \to ∞}(-1)^n=1, -1$,

               $\displaystyle \lim_{n \to ∞}(-3)^n=∞, -∞$

 

$(2)$수열의 극한의 성질

①두 수열 $\{ a_n \}, \{ b_n \}$이 수렴하고, $\displaystyle \lim_{n \to ∞}a_n=α, \lim_{n \to ∞}b_n=β(α, β$는 실수$)$ 일 때,

  -$\displaystyle \lim_{n \to ∞}(a_n ± b_n)=\lim_{n \to ∞}a_n ± \lim_{n \to ∞}b_n = α±β$

  -$\displaystyle \lim_{n \to ∞}a_n b_n = \lim_{n \to ∞}a_n × \lim_{n \to ∞}b_n=αβ$

  -$\displaystyle \lim_{n \to ∞}{a_n \over b_n}={\displaystyle \lim_{n \to ∞}a_n \over \displaystyle \lim_{n \to ∞}b_n}={α \over β}($단, $b_n≠0, β≠0)$

  -$\displaystyle \lim_{n \to ∞}ca_n=c \lim_{n \to ∞}a_n=cα($단, $c$는 상수$)$

 

②부정형

  - $\displaystyle {∞ \over ∞}$꼴의 극한 ⇒ 분모의 최고차항으로 나눔

  - $∞-∞$꼴의 극한 ⇒ 무리식이면 유리화함, 다항식은 최고차항으로 묶음

 

$(3)$수열의 극한의 대소 관계

  두 수열 $\{ a_n \}, \{ b_n \}$이 각각 수렴하고, $\displaystyle \lim_{n \to ∞}a_n=α, \lim_{n \to ∞}b_n=β(α, β$는 실수$)$ 일 때,

  -모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n≤b_n$이면 $α≤β$

  -수열 $\{ c_n \}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n≤c_n≤b_n$이고 $α=β$이면, $\displaystyle \lim_{n \to ∞}c_n=α=β$

 

$(4)$등비수열의 극한

-등비수열의 극한: $\displaystyle \lim_{n \to ∞}ar^n$

  $(※) \, a=0$일 때, $\displaystyle \lim_{n \to ∞}ar^n=0$    ⇒ 수렴

  $(ⅰ) \, r>1$일 때, $\displaystyle \lim_{n \to ∞}r^n=∞$    ⇒ 발산
  $(ⅱ) \, r=1$일 때, $\displaystyle \lim_{n \to ∞}r^n=1$    ⇒ 수렴
  $(ⅲ) \, |r|<1$일 때, $\displaystyle \lim_{n \to ∞}r^n=0$    ⇒ 수렴
  $(ⅳ) \, r=-1$일 때, $\displaystyle \lim_{n \to ∞}r^n=1, -1$    ⇒ 진동$($발산$)$
  $(ⅴ) \, r<1$일 때, $\displaystyle \lim_{n \to ∞}r^n=∞, -∞$    ⇒ 진동$($발산$)$

 

 

 

2. 급수

$(1)$수렴과 발산

-급수$($무한$)$: 수열 $a_n$의 각 항을 $+$로 차례대로 연결한 식 $\displaystyle \sum_{n=1}^∞{a_n}=a_1+a_2+···+a_n+···$

-부분합$($유한$)$: 급수에서 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n{a_k}=a_1+a_2+···+a_n$

 

-급수의 합

 ①급수의 부분합으로 이루어진 수열 $S_1, S_2, ···, S_n, ···$에서

    $n$이 한없이 커짐에 따라, 일정한 값 $S$에 가까워질 때,

    급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^∞{a_n}$은 $S$에 수렴한다고 하고, $S$를 급수의 합이라 함

  · 수열 $S_n$은 $S$에 수렴한다고 하고, $S$를 수열 $\{ S_n \}$의 극한$($급수의 합$)$이라 함

  · $\displaystyle \sum_{n=1}^∞{a_n}=\lim_{n \to ∞}\sum_{k=1}^n a_k=\lim_{n \to ∞}S_n=S$

 

 ②부분합의 수열 $S_n$이 수렴하지 않을 때, 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^∞{a_n}$은 발산한다고 함

 

-급수와 수열의 극한 사이의 관계 ⇒발산 판정법

  $(ⅰ)$ 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^∞{a_n}$이 수렴하면, $\displaystyle \lim_{n \to ∞}=0$

  $(ⅱ)$ $\displaystyle \lim_{n \to ∞}≠0$이면, 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^∞{a_n}$은 발산함

 

$(2)$급수의 성질

  두 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^∞{a_n}, \sum_{n=1}^∞{b_n}$이 각각 수렴하고, $\displaystyle \sum_{n=1}^∞{a_n}=S, \sum_{n=1}^∞{b_n}=T(S,T$는 실수$)$ 일 때,

  -$\displaystyle \sum_{n=1}^∞{(a_n ± b_n)}= \sum_{n=1}^∞{a_n} ± \sum_{n=1}^∞{b_n} = S ± T$

  -$\displaystyle \sum_{n=1}^∞{c a_n} = c \sum_{n=1}^∞{a_n} =c S ($단, $c$는 상수$)$

 

$(3)$등비급수

-등비급수: $\displaystyle \sum_{n=1}^∞{ar^{n-1}}=a+ar+ar^2+···+ar^{n-1}+··· (a≠0)$

- $|r|<1$일 때, 수렴 ⇒ $S=\displaystyle {a \over 1-r}$

- $|r|≥1$일 때, 발산

-등비급수의 활용: 순환소수, 일정한 비율로 한없이 작아지는 도형의 길이·넓이·부피