[2015 개정 교육과정]고1 수학(하) - Ⅳ. 집합과 명제

10. 집합

①집합

  -집합 A, 원소a

  -속한다: $a\in A$, 속하지 않는다: $a\notin A$

  -원소나열법, 조건제시법, 벤다이어그램법

  -원소의 개수: $n(A)$

②부분집합

  -$A\subset B$, $A\not\subset B$

  -서로 같은 집합: $A\subset B$이고 $B\subset A$일 때, $A=B$임

  -진부분집합: $A\subset B$이고 $A\ne B$일 때

  -부분집합의 개수: $2^n$

  -진부분집합의 개수: $2^n-1$

  -$k$개의 특정한 원소를 포함하는(포함하지 않는) 부분집합의 개수: $2^{n-k}$

  -$k$개의 특정한 원소 중 적어도 한 개를 포함하는 부분집합의 개수: $2^n-2^{n-k}$

③집합의 연산

  -합집합: $A\cup B$

  -교집합: $A\cap B$   ※서로소: $A\cap B=\varnothing$

  -차집합: $A-B=A\cap B^c$

  -전체집합: $U$

  -여집합: $A^c$

④집합의 연산법칙: 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙, 드모르간 법칙

11. 명제

①명제와 조건: 명제, 조건, 진리집합

②명제와 조건의 부정

  -모든 $x$에 대하여 $p$이다 → 어떤 $x$에 대하여 $p$이다

  -어떤 $x$에 대하여 $p$이다 → 모든 $x$에 대하여 $p$이다

③명제의 참과 거짓

  -명제: $p\to q$ ($p$이면 $q$이다)

  -역: $q\to p$

  -대우: $q\to p$

④명제의 증명: 대우, 귀류법, 삼단논법

⑤필요조건과 충분조건

  -$P\subset Q$이면 $p\Rightarrow q$이므로, $p$는 충분조건 $q$는 필요조건임

  -$P=Q$이면 $p\iff q$이므로, $p,q$는 필요충분조건임

⑥절대부등식

  -$a^2-ab+b^2\ge 0$ (등호는 $a=b=0$일 때 성립)

  -$|a+b|\le |a|+|b|$ (등호는 $ab\ge 0$일 때 성립)

  -산술평균, 기하평균, 조화평균: ${\displaystyle \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\ge \frac{2ab}{a+b}}$ (등호는 $a=b$일 때 성립)

  -코시-슈바르츠 부등식: $(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by{)}^2$ (등호는 $ay=bx$일 때 성립)